Descobrindo o número digitado

Peça ao aluno que digite um número e depois multiplique por um número qualquer. Pegue a calculadora e através do resultado descubra o número digitado do aluno.

Esquema: Tire raiz quadrada do resultado até chegar ao 1. Em seguida aperte o sinal de igual. O número obtido é o número digitado inicialmente pelo aluno.

Os números telefônicos

Pegue uma calculadora e siga todas as instruções seguintes:


1 – Digite os 4 primeiros algarismos do número do seu telefone.

2 – Multiplique esse número de 4 algarismos por 80.

3 – Some 1 ao produto obtido.

4 – Multiplique por 250 o resultado obtido.

5 – Some a esse resultado o número formado agora pelos 4 últimos algarismos do mesmo telefone.

6 – Some novamente ao resultado o número formado agora pelos 4 últimos algarismos do mesmo telefone novamente.

7 – Diminua 250 do resultado anterior.

8 – Finalmente divida por 2 esse resultado obtido.


Que número você obteve? Por que será que ocorreu isto?

Descobrindo algarismos

Peça que o aluno digite um número de 3 dígitos distintos entre si e diferentes de zero e subtraia dele, ele mesmo lido de trás para frente. Ex: Se escolheu 149, faça: 149 – 941 = 792.

Descubra o número obtido perguntando ao aluno somente o 1º dígito do resultado.
Esquema: Note que para qualquer resultado o dígito central vale 9 e a soma do 1º com o 3º é sempre igual a nove.

Cronologia da Matemática

• 3500 a.C.

Antigos Sistemas de Numeração egípcios e babilônicos

•   3100 a.C.

História da matemática no Egito

Regra da Falsa Posição

Métodos de Multiplicação e Divisão dos Egípcios

• 2600 a.C.

Resolução de Equações de 2o grau

•  2100 a.C.

História da matemática na Babilônia

•  1850 a.C.

Papiro Moscou

• 1650 a.C.

Papiro Rhind

•  625 a.C.

Cálculo da distância de navios no mar

O Cálculo da altura das pirâmides

Tales de Mileto

•  580 a.C.

Máximo divisor comum e Mínimo múltiplo comum

Números amigos

Números Figurados

Números perfeitos

Números Pares e Ímpares

Secção Áurea (Razão Áurea/Número de Ouro)

• 580 a.C.

Pitágoras de Samos

Teorema de Pitágoras

• 579 a.C.

Números primos e compostos

• 440 a.C.

Duplicação do cubo

Quadratura do círculo

• 430 a.C.

O início da trigonometria

• 428 a.C.

Trissecção do ângulo

• 425 a.C.

Trissectriz ou quadratriz de Hipias

• 300 a.C.

Euclides e os "Elementos"

• 287 a.C.

Método clássico para cálculo de 

• 287 a.C.

Arquimedes

• 276 a.C.

Descobre-se a medida do raio da Terra

• 262 a.C.

As Cônicas

• 250 a.C.

Sistema de numeração Indo-Arábico

• 240 a.C.

Conchóide de Nicomedes

• 196 a.C.

Pedra de Roseta

• 60

Aritmética de Nicômaco

•  825

A Álgebra de Al-Khowârizmî

•  1202

Leonardo de Pisa (Fibonacci) (1170? – 1240) é o primeiro europeu a usar Algarismos Arábicos

• 1535

Encontra-se um método para resolver equações do terceiro grau

• 1545

Geronimo Cardano e a primeira sugestão dos números negativos

A Introdução dos Números Complexos

• 1551

Surge a trigonometria moderna criada pelo alemão Georg Joachim Von Lauchen (1514 – 1576)

• 1614

Publica-se a primeira tábua de logaritmos. Seu autor é o escocês John Napier

• 1628

O início da Geometria analítica desenvolvida pelo filósofo, físico e matemático francês René Descartes (1596 – 1650)

• 1654

O cálculo das probabilidades é criado pelos matemáticos franceses Pierre de Fermant (1601 – 1665) e Blaise Pascal (1623 – 1662)

• 1669

O físico inglês Isaac Newton (1642 – 1727) inventa o cálculo diferencial e integral

• 1685

Criação dos números imaginários pelo inglês John Wallis (1616 – 1703)

• 1744

Os números transcendentais são encontrados pelo suíço Leonard Euller (1707 – 1783)

• 1801

Grupos de Permutações

A Abstração em Álgebra

A Primeira Definição Abstrata de Grupo

• 1822

O desenvolvimento da Geometria Projetiva abre caminho para a Geometria Moderna.

• 1824

O norueguês Niels Henrik Abel (1802 – 1829) descobre que é impossível resolver equações de quinto grau.

• 1826

A Geometria não euclidiana é cria da pelo russo Nicolai Ivanovich Lobachevsky (1792 – 1856)

• 1833

Willian Rowan Hamilton define a álgebra abstrata

• 1849

Augustus De Morgan faz a interpretação geométrica dos números complexos

George Boole descobre a “matemática pura” na obra As Leis do Pensamento”

•  1854

Boole publica “An investigation into the Laws of Thought” e funda a Álgebra Booleana

• 1858

Axiomas de Peano

• 1872

Dedekind: a fundamentação dos números reais

• 1874

Demonstra-se que existem números maiores que o infinito. Eles são chamados pelo alemão Georg Cantor (1845 – 1918) de Transfinitos.

• 1899

A geometria passa pela reforma mais profunda desde sua criação, e autor é o alemão David Hilbert (1862 – 1943)

• 1931

O alemão Kurt Gödel (1906 – 1978) demonstra que, dentro de qualquer sistema matemático, como a álgebra e a geometria, sempre existem teoremas que não podem ser provados nem desmentidos.

• 1977

A Teoria do Caos começa a se tornar uma disciplina bem estruturada, aprimorada especialmente pelo norte-americano Robert Stetson Shaw (1945 -)

• 1993

O matemático inglês Andrew Wiles (1952 -) consegue provar o último teorema de Fermat.

• 1998

Thomas Hales, da Universidade de Michigan, consegue demonstrar que há uma maneira ideal de agrupar esferas num certo volume.

Por que os nomes Elipse, Parábola e Hipérbole?

Apolônio utilizou pela primeira vez os termos parábola, elipse e hipérbole para designar estas curvas em seu livro I em “As Cônicas”. Estes nomes que foram adotados dos pitagóricos para quem o termo elipse era usado quando um retângulo de área dada era aplicado a um segmento que lhe faltava um quadrado; o termo hipérbole era usado quando a área excedia o segmento; o termo parábola era usado quando não havia excesso nem falta. E observamos que a razão dessas designações está na própria significação dos termos, pois elipse quer dizer falta, parábola corresponde a igual e hipérbole exprime excesso.

Vejamos agora o fato em relação às curvas em questão. Para isso, consideramos uma cônica de vértice A, como na figura a seguir.

Seja P um ponto qualquer da cônica e Q sua projeção ortogonal sobre AB. Pelo vértice A traçamos uma reta perpendicular a AB, sobre a qual tomamos AD = p, p um número real positivo previamente dado.

A seguir, construamos um retângulo de base AQ, situada sobre a reta AB, e lado AE sobre AD, de modo que a sua área seja PQ . PQ.

Assim,

AE < AD, AE = AD ou AE > AD,

Apolônio denominou a cônica de elipse, parábola ou hipérbole.

Em outros termos, se considerarmos a curva referida a um sistema cartesiano de eixos coordenados com eixo dos x (abscissas) sobre AB e eixo dos y (ordenadas) sobre AD e se designarmos as coordenadas de P por x e y, a curva será uma elipse se y2 < px, uma parábola se y2 = px e uma hipérbole se y2 > px. (SEB, 2004)

Referências Bibliográficas:

BOYER, Carl B., História da Matemática. Edgar Bluncher Ltda, São Paulo, 1996.

EVES, Howard, Introdução à história da matemática. Campinas, Editora da Unicamp, 1995.

POLCINO, César M. & BUSSAB, José Hugo O., A geometria na antiguidade clássica. FTD, São Paulo, 1999.

Ministério da Educação - SEB, Coleção explorando o ensino. Matemática – Ensino Médio. Volume 3. Brasília, 2004

Quem foi Apolônio de Perga?

Apolônio foi um matemático grego da escola de Alexandria, sendo denominado por muitos como o "grande geômetra" e considerado também como um dos mais originais matemáticos gregos que se dedicaram ao estudo da geometria. Sabe-se que Apolônio nasceu por volta de 261 a.C., em Perga. Ainda durante sua juventude, deixou Perga indo para Alexandria cujo Museu e Biblioteca eram o centro do saber, onde estudou com os sucessores de Euclides, e aonde também veio a ensinar. Também viveu em Éfeso e Pérgamo, onde se construiu uma biblioteca semelhante à de Alexandria. Talvez daí venha à lenda sobre o Oráculo de Pérgamo.

Das fontes em que pesquisei e que citam Apolônio, todos consideram que dentre todas suas obras, a principal é um tratado intitulado "As cônicas", o qual é composto por oito livros, dos quais sete chegaram aos nossos dias. Esta obra é considera por muitos, como uma das principais da Matemática Clássica (Antiga). Estes sete livros são: "A seção da relação", "A seção do espaço", "A seção determinada", "As inclinações", "Os lugares planos", "Os contatos" e "Okytokion", onde se determina um sistema de numeração mais prático do que o de Arquimedes. A obra "Dividir Segundo uma Razão" juntamente com "As cônicas" são os seus dois únicos trabalhos que chegaram aos nossos dias.

Nestas mesmas fontes, tem-se como ponto comum o fato de que acredita-se que sua obra foi bastante vasta, embora de seu conjunto só tenham chegado até nós comentários. Apolônio de Perga também escreveu sobre o parafuso ou a hélice cilíndrica. também escreveu uma obra chamada “Tratado Universal”, onde examinava de maneira crítica os fundamentos da matemática. Desta obra ainda conservam-se alguns fragmentos. De suas obras perdidas, conhecem-se os seguintes títulos: Cortar uma Área, Tangências, Lugares Planos, Determinar uma Secção, Inclinações, Cálculo Rápido, Comparação entre o Dodecaedro e o Icosaedro.

Mas além de um grande matemático, Apolônio também realizou trabalhos sobre astronomia, tendo ficado célebre o seu modelo para representação planetário. Faleceu em Alexandria, por volta de 190 a.C.

No prefácio geral de "As Cônicas", Apolônio explica as razões que o levaram a escrevê-lá:

"... levei a cabo a investigação deste assunto a pedido de Neucrates ‘o geómetra’, quando ele veio a Alexandria e ficou comigo, e, quando tinha trabalhado os oito livros, dei-lhos de imediato, apressadamente, porque ele estava de partida; não foi possível portanto revê-los. Escrevi tudo conforme me ia ocorrendo, adiando a revisão até ao fim." (HEATH, 1981).

Um detalhe nteressante e contundente, o qual nos permite avaliar a excelência desta magnífica obra, é que só se descobriram novas propriedades das seções cônicas em meados do século XIX, quando a Geometria Projetiva, começou a estudas as seções cônicas, ou seja, as elipses, parábolas e hipérboles.

Referências Bibliográficas:

BOYER, Carl B., História da Matemática. Edgar Bluncher Ltda, São Paulo, 1996.

Ministério da Educação - SEB, Coleção explorando o ensino. Matemática – Ensino Médio. Volume 3. Brasília, 2004

EVES, Howard, Introdução à história da matemática. Campinas, Editora da Unicamp, 1995.

Como, quando e por que surgiram as seções cônicas?

Muitos atribuem a Menaecmus, cerca de 350 a.C., discípulo e sucessor de Eudoxo na Escola de Cizico, a invenção das cônicas. Mas na verdade, ele apenas as construiu de maneira mecânica, utilizando-as na resolução do clássico problema de Delos (duplicação do cubo) que é um dos três problemas clássicos gregos junto com o da trisssecção do ângulo e da quadratura do círculo (estes problemas serão abordados aqui em momento apropriado).

Mas foi Apolônio (III séc. a.C.) quem extraiu essas curvas de uma superfície cônica, mediante seções planas. Daí a denominação comum de seções cônicas. De acordo com a história e um pouco, talvez, até de mitologia (no que diz respeito ao Oráculo), dentro da matriz do Oráculo de Pérgamo estão os segredos do cone clássico de Apolônio, dos quais o primeiro diz que o cone na verdade, é um cone duplo, onde as curvas produzidas pela interseção de um plano com este cone duplo são as chamadas seções cônicas. Esta grandiosa e magnífica obra é considerada por muitos, como o ponto máximo da matemática grega.

Apolônio também mostrou que o cone não precisa ser reto (pode ser oblíquo ou escaleno) e que um cone oblíquo tem, não só uma infinidade de secções circulares paralelas à base, mas também um conjunto infinito de secções circulares dadas a que chamou secções subcontrárias. Mostrou ainda que os pontos médios de um conjunto de cordas paralelas a um diâmetro de uma elipse ou hipérbole formam um segundo diâmetro, a que chamou diâmetros conjugados. A partir dos diâmetros conjugados, Apolônio mostrou que, se uma reta é traçada por uma extremidade de um diâmetro de uma elipse ou hipérbole paralelamente ao conjugado, a reta tocará a cônica e mais nenhuma reta pode cair entre ela e a cônica, isto é, a reta é tangente à cônica.

A importância do estudo de Apolônio sobre as cônicas dificilmente pode ser questionada. Temos a inegável influência dele sobre os estudos de Ptolomeu. Este foi astrônomo e geógrafo e fez observações em Alexandria de 127-151 d.C.. Suas obras mais famosas são o Almagesto (astronomia) e a Geografia (8 volumes). Ptolomeu introduziu o sistema de latitude e longitude tal como é usado hoje em cartografia e usou métodos de projeção e transformações estereográficas. Este estudo faz uso de um Teorema de Apolônio que diz que todo cone oblíquo tem duas famílias de seções circulares.

As Cônicas de Apolônio também tiveram forte influência nos estudos de Kepler. O interesse de Kepler pelas cônicas surgiu devido às suas aplicações à óptica e à construção de espelhos parabólicos. Em 1.609, Kepler edita a Astronomia Nova, onde apresenta a principal lei da astronomia: "os planetas descrevem órbitas em torno do Sol, com o Sol ocupando um dos focos". A propósito, a palavra foco é devida a Kepler e provém da forma latinizada foccus cujo significado é fogo, lareira.

Outra aplicação prática das cônicas aparece na obra de Galileu (1.632), onde "desprezando a resistência do ar, a trajetória de um projétil é uma parábola". Galileu se reporta à componente horizontal e à componente vertical de uma parábola.

Mas foi a Matemática pura de Apolônio que permitiu, cerca de 1.800 anos mais tarde, a Sir Isaac Newton escrever "Principia". A lei da gravitação de Newton matematizou as descobertas empíricas de Kepler e, a partir do século dezessete, possibilitou o estudo analítico das cônicas e das suas aplicações aos movimentos no espaço, este, por sua vez, deu aos cientistas de hoje condições para que a viagem de ida e volta à Lua fosse possível.

Por fim, coube a Pierre de Fermat (1.601-1.665) a criação das equações cartesianas da reta e da circunferência, e também as mais simples equações das seções cônicas (elipse, hipérbole e parábola). Entre outras situações, ele aplicou uma transformação equivalente à rotação de eixos para assim reduzir a equação do 2o grau à sua forma mais simples.

Referências Bibliográficas:

BOYER, Carl B., História da Matemática. Edgar Bluncher Ltda, São Paulo, 1996.

EVES, Howard, Introdução à história da matemática. Campinas, Editora da Unicamp, 1995.

HEATH, Thomas L., A história dos matemáticos gregos. Dover, New York, 1981.

POLCINO, César M. & BUSSAB, José Hugo O., A geometria na antiguidade clássica. FTD, São Paulo, 1999.

Ministério da Educação - SEB, Coleção explorando o ensino. Matemática – Ensino Médio. Volume 3. Brasília, 2004

Seções cônicas e o Oráculo de Pérgamo

No estudo das seções cônicas durante o Ensino Médio, nos limitamos às definições teóricas e resolução de exercícios. Isto possibilita um bom acréscimo de conhecimento, mas também gera alguns questionamentos, tais como: por que, quando e como surgiram as seções cônicas? Como se deu o seu desenvolvimento durante os tempos e principalmente, dentro do contexto matemático? Quais as suas aplicabilidades na vida cotidiana? Suas propriedades e características podem de alguma maneira ter contribuído para a formação do atual modelo globalizado de nosso planeta?

Assim, para responder às estas questões, decidi fazer um estudo mais minucioso das seções cônicas, partindo de sua origem até suas mais modernas e surpreendentes aplicações, pois acredito ser muito interessante e fundamental que o aluno tenha contato com a história da formação e evolução dos conceitos matemáticos. Os resultados deste estudo serão apresentados nas postagens seguintes.

A seqüência de Fibonacci e o número de ouro

Quando participei do Congresso de Educadores do Triângulo Mineiro (12 -14 de julho de 2006), durante a apresentação da Oficina sobre Razão Áurea, analisei a Série de Fibonacci e, fiz menção a um fato que considero muito interessante sobre a relação entre essa seqüência e o número de ouro. Como vimos, se dividirmos um termo dessa seqüência pelo seu antecessor, encontramos um número próximo ao valor de phi (1,618). Também percebemos que quanto maior forem os valores desses números, mais próximo seu quociente ficará de phi. Vejamos então ao gráfico que representa essa situação:

Observando-o, podemos perceber claramente que quanto maior forem os termos, mais próximo sua razão estará de phi. Então pensei a seguinte situação: se quanto maior forem as medidas dos termos, mais próximo sua razão fica de phi e considerarmos então que esta é uma série infinita, logo a razão dos termos dessa seqüência está tendendo a phi. Portanto, há a possibilidade de se trabalhar conceitos de limites nessa seqüência quando a mesma tende ao infinito.

Desta maneira, inicialmente considerei adotei de maneira geral que essa seqüência seria determinada por fn e onde, seu sucessor seria fn+1 e seu antecessor seria fn–1. Como já sabemos, na seqüência de Fibonacci o número correspondente a um determinado termo é igual a soma de seus dois antecessores (a partir do terceiro termo), logo podemos determinar de maneira geral o valor de por fn = fn–1 + fn–2.

Também sabemos que na seqüência de Fibonacci, os dois primeiros termos são iguais a 1, logo podemos designá-los como sendo o termo inicial f0 = 1 e f1 = 1. desta forma, podemos montar a seqüência a seguir:


f0 + f1 + f2 + ... + fn + ...

em que,

f0 = 1, f1 = 1, f2 = f0 + f1, f3 = f2 + f1 + ...+ fn = fn–1 + fn–2 + ...

ou seja,

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Logo, podemos também dizer que uma razão Rf qualquer entre dois termos sucessivos podem ser determinados de maneira geral da seguinte forma:

quando .

Assim, podemos representar o limite dessa razão da seguinte maneira:

Assim, podemos representar o limite dessa razão da seguinte maneira:

Outro detalhe interessante, é que se a razão entre um termo dessa seqüência pelo seu antecessor tende phi, logo a razão entre um termo qualquer e sucessor nos dará o inverso do número de ouro, que poderíamos determinar de maneira geral como a seguir:

Mas um detalhe importante é que para melhor aproximação de phi, devemos considerar para a razão, preferencialmente, termos cuja posição na seqüência seja n > 4.

João Gilberto

Construindo o Retângulo de Ouro e a Espiral Logarítmica

A seguir vou descrever para vocês um processo para a construção geométrica do retângulo de ouro e outro para a construção da espiral logarítmica que abordamos em postagens.


O RETÂNGULO DE OURO

Para construirmos um retângulo que apresente entre seus lados a razão de ouro devemos proceder da seguinte maneira:

I) constrói-se um quadrado ABCD.

II) divide-se esse quadrado ao meio, obtendo os retângulos ABEF e CDEF.

III) constrói-se uma diagonal CF no retângulo CDEF.

IV) prolonga-se a base do quadrado e, com a ponta seca do compasso no ponto F e a outra ponta em C constrói-se um arco até a reta suporte da base do quadrado, criando assim o ponto G.

V) pelo ponto G levanta-se uma reta perpendicular à base, que será o lado do retângulo de ouro.


A ESPIRAL LOGARÍTMICA

Para construirmos uma espiral logarítmica podemos utilizar um retângulo dourado que, ao ser dividido por um segmento igual ao seu lado menor, nos fornece um novo retângulo dourado.

O processo é o seguinte:

I) constrói-se um retângulo dourado ABCD, como vimos na construção anterior ("O retângulo dourado")

II) neste retângulo marcamos, sobre BC um ponto F, de medida AB e traçamos uma perpendicular a BC pelo ponto F

III) o retângulo DCEF também é um retângulo dourado, que dará origem ao retângulo EDGH

IV) repete-se o processo acima tantas vezes quantas acha-se conveniente

V) com a ponta seca do compasso em E a abertura AE traça-se o arco AF e repete-se o processo para nos demais quadrados obtidos.