A seqüência de Fibonacci e o número de ouro

Quando participei do Congresso de Educadores do Triângulo Mineiro (12 -14 de julho de 2006), durante a apresentação da Oficina sobre Razão Áurea, analisei a Série de Fibonacci e, fiz menção a um fato que considero muito interessante sobre a relação entre essa seqüência e o número de ouro. Como vimos, se dividirmos um termo dessa seqüência pelo seu antecessor, encontramos um número próximo ao valor de phi (1,618). Também percebemos que quanto maior forem os valores desses números, mais próximo seu quociente ficará de phi. Vejamos então ao gráfico que representa essa situação:

Observando-o, podemos perceber claramente que quanto maior forem os termos, mais próximo sua razão estará de phi. Então pensei a seguinte situação: se quanto maior forem as medidas dos termos, mais próximo sua razão fica de phi e considerarmos então que esta é uma série infinita, logo a razão dos termos dessa seqüência está tendendo a phi. Portanto, há a possibilidade de se trabalhar conceitos de limites nessa seqüência quando a mesma tende ao infinito.

Desta maneira, inicialmente considerei adotei de maneira geral que essa seqüência seria determinada por fn e onde, seu sucessor seria fn+1 e seu antecessor seria fn–1. Como já sabemos, na seqüência de Fibonacci o número correspondente a um determinado termo é igual a soma de seus dois antecessores (a partir do terceiro termo), logo podemos determinar de maneira geral o valor de por fn = fn–1 + fn–2.

Também sabemos que na seqüência de Fibonacci, os dois primeiros termos são iguais a 1, logo podemos designá-los como sendo o termo inicial f0 = 1 e f1 = 1. desta forma, podemos montar a seqüência a seguir:


f0 + f1 + f2 + ... + fn + ...

em que,

f0 = 1, f1 = 1, f2 = f0 + f1, f3 = f2 + f1 + ...+ fn = fn–1 + fn–2 + ...

ou seja,

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Logo, podemos também dizer que uma razão Rf qualquer entre dois termos sucessivos podem ser determinados de maneira geral da seguinte forma:

quando .

Assim, podemos representar o limite dessa razão da seguinte maneira:

Assim, podemos representar o limite dessa razão da seguinte maneira:

Outro detalhe interessante, é que se a razão entre um termo dessa seqüência pelo seu antecessor tende phi, logo a razão entre um termo qualquer e sucessor nos dará o inverso do número de ouro, que poderíamos determinar de maneira geral como a seguir:

Mas um detalhe importante é que para melhor aproximação de phi, devemos considerar para a razão, preferencialmente, termos cuja posição na seqüência seja n > 4.

João Gilberto