Por que os nomes Elipse, Parábola e Hipérbole?

Apolônio utilizou pela primeira vez os termos parábola, elipse e hipérbole para designar estas curvas em seu livro I em “As Cônicas”. Estes nomes que foram adotados dos pitagóricos para quem o termo elipse era usado quando um retângulo de área dada era aplicado a um segmento que lhe faltava um quadrado; o termo hipérbole era usado quando a área excedia o segmento; o termo parábola era usado quando não havia excesso nem falta. E observamos que a razão dessas designações está na própria significação dos termos, pois elipse quer dizer falta, parábola corresponde a igual e hipérbole exprime excesso.

Vejamos agora o fato em relação às curvas em questão. Para isso, consideramos uma cônica de vértice A, como na figura a seguir.

Seja P um ponto qualquer da cônica e Q sua projeção ortogonal sobre AB. Pelo vértice A traçamos uma reta perpendicular a AB, sobre a qual tomamos AD = p, p um número real positivo previamente dado.

A seguir, construamos um retângulo de base AQ, situada sobre a reta AB, e lado AE sobre AD, de modo que a sua área seja PQ . PQ.

Assim,

AE < AD, AE = AD ou AE > AD,

Apolônio denominou a cônica de elipse, parábola ou hipérbole.

Em outros termos, se considerarmos a curva referida a um sistema cartesiano de eixos coordenados com eixo dos x (abscissas) sobre AB e eixo dos y (ordenadas) sobre AD e se designarmos as coordenadas de P por x e y, a curva será uma elipse se y2 < px, uma parábola se y2 = px e uma hipérbole se y2 > px. (SEB, 2004)

Referências Bibliográficas:

BOYER, Carl B., História da Matemática. Edgar Bluncher Ltda, São Paulo, 1996.

EVES, Howard, Introdução à história da matemática. Campinas, Editora da Unicamp, 1995.

POLCINO, César M. & BUSSAB, José Hugo O., A geometria na antiguidade clássica. FTD, São Paulo, 1999.

Ministério da Educação - SEB, Coleção explorando o ensino. Matemática – Ensino Médio. Volume 3. Brasília, 2004

Quem foi Apolônio de Perga?

Apolônio foi um matemático grego da escola de Alexandria, sendo denominado por muitos como o "grande geômetra" e considerado também como um dos mais originais matemáticos gregos que se dedicaram ao estudo da geometria. Sabe-se que Apolônio nasceu por volta de 261 a.C., em Perga. Ainda durante sua juventude, deixou Perga indo para Alexandria cujo Museu e Biblioteca eram o centro do saber, onde estudou com os sucessores de Euclides, e aonde também veio a ensinar. Também viveu em Éfeso e Pérgamo, onde se construiu uma biblioteca semelhante à de Alexandria. Talvez daí venha à lenda sobre o Oráculo de Pérgamo.

Das fontes em que pesquisei e que citam Apolônio, todos consideram que dentre todas suas obras, a principal é um tratado intitulado "As cônicas", o qual é composto por oito livros, dos quais sete chegaram aos nossos dias. Esta obra é considera por muitos, como uma das principais da Matemática Clássica (Antiga). Estes sete livros são: "A seção da relação", "A seção do espaço", "A seção determinada", "As inclinações", "Os lugares planos", "Os contatos" e "Okytokion", onde se determina um sistema de numeração mais prático do que o de Arquimedes. A obra "Dividir Segundo uma Razão" juntamente com "As cônicas" são os seus dois únicos trabalhos que chegaram aos nossos dias.

Nestas mesmas fontes, tem-se como ponto comum o fato de que acredita-se que sua obra foi bastante vasta, embora de seu conjunto só tenham chegado até nós comentários. Apolônio de Perga também escreveu sobre o parafuso ou a hélice cilíndrica. também escreveu uma obra chamada “Tratado Universal”, onde examinava de maneira crítica os fundamentos da matemática. Desta obra ainda conservam-se alguns fragmentos. De suas obras perdidas, conhecem-se os seguintes títulos: Cortar uma Área, Tangências, Lugares Planos, Determinar uma Secção, Inclinações, Cálculo Rápido, Comparação entre o Dodecaedro e o Icosaedro.

Mas além de um grande matemático, Apolônio também realizou trabalhos sobre astronomia, tendo ficado célebre o seu modelo para representação planetário. Faleceu em Alexandria, por volta de 190 a.C.

No prefácio geral de "As Cônicas", Apolônio explica as razões que o levaram a escrevê-lá:

"... levei a cabo a investigação deste assunto a pedido de Neucrates ‘o geómetra’, quando ele veio a Alexandria e ficou comigo, e, quando tinha trabalhado os oito livros, dei-lhos de imediato, apressadamente, porque ele estava de partida; não foi possível portanto revê-los. Escrevi tudo conforme me ia ocorrendo, adiando a revisão até ao fim." (HEATH, 1981).

Um detalhe nteressante e contundente, o qual nos permite avaliar a excelência desta magnífica obra, é que só se descobriram novas propriedades das seções cônicas em meados do século XIX, quando a Geometria Projetiva, começou a estudas as seções cônicas, ou seja, as elipses, parábolas e hipérboles.

Referências Bibliográficas:

BOYER, Carl B., História da Matemática. Edgar Bluncher Ltda, São Paulo, 1996.

Ministério da Educação - SEB, Coleção explorando o ensino. Matemática – Ensino Médio. Volume 3. Brasília, 2004

EVES, Howard, Introdução à história da matemática. Campinas, Editora da Unicamp, 1995.

Como, quando e por que surgiram as seções cônicas?

Muitos atribuem a Menaecmus, cerca de 350 a.C., discípulo e sucessor de Eudoxo na Escola de Cizico, a invenção das cônicas. Mas na verdade, ele apenas as construiu de maneira mecânica, utilizando-as na resolução do clássico problema de Delos (duplicação do cubo) que é um dos três problemas clássicos gregos junto com o da trisssecção do ângulo e da quadratura do círculo (estes problemas serão abordados aqui em momento apropriado).

Mas foi Apolônio (III séc. a.C.) quem extraiu essas curvas de uma superfície cônica, mediante seções planas. Daí a denominação comum de seções cônicas. De acordo com a história e um pouco, talvez, até de mitologia (no que diz respeito ao Oráculo), dentro da matriz do Oráculo de Pérgamo estão os segredos do cone clássico de Apolônio, dos quais o primeiro diz que o cone na verdade, é um cone duplo, onde as curvas produzidas pela interseção de um plano com este cone duplo são as chamadas seções cônicas. Esta grandiosa e magnífica obra é considerada por muitos, como o ponto máximo da matemática grega.

Apolônio também mostrou que o cone não precisa ser reto (pode ser oblíquo ou escaleno) e que um cone oblíquo tem, não só uma infinidade de secções circulares paralelas à base, mas também um conjunto infinito de secções circulares dadas a que chamou secções subcontrárias. Mostrou ainda que os pontos médios de um conjunto de cordas paralelas a um diâmetro de uma elipse ou hipérbole formam um segundo diâmetro, a que chamou diâmetros conjugados. A partir dos diâmetros conjugados, Apolônio mostrou que, se uma reta é traçada por uma extremidade de um diâmetro de uma elipse ou hipérbole paralelamente ao conjugado, a reta tocará a cônica e mais nenhuma reta pode cair entre ela e a cônica, isto é, a reta é tangente à cônica.

A importância do estudo de Apolônio sobre as cônicas dificilmente pode ser questionada. Temos a inegável influência dele sobre os estudos de Ptolomeu. Este foi astrônomo e geógrafo e fez observações em Alexandria de 127-151 d.C.. Suas obras mais famosas são o Almagesto (astronomia) e a Geografia (8 volumes). Ptolomeu introduziu o sistema de latitude e longitude tal como é usado hoje em cartografia e usou métodos de projeção e transformações estereográficas. Este estudo faz uso de um Teorema de Apolônio que diz que todo cone oblíquo tem duas famílias de seções circulares.

As Cônicas de Apolônio também tiveram forte influência nos estudos de Kepler. O interesse de Kepler pelas cônicas surgiu devido às suas aplicações à óptica e à construção de espelhos parabólicos. Em 1.609, Kepler edita a Astronomia Nova, onde apresenta a principal lei da astronomia: "os planetas descrevem órbitas em torno do Sol, com o Sol ocupando um dos focos". A propósito, a palavra foco é devida a Kepler e provém da forma latinizada foccus cujo significado é fogo, lareira.

Outra aplicação prática das cônicas aparece na obra de Galileu (1.632), onde "desprezando a resistência do ar, a trajetória de um projétil é uma parábola". Galileu se reporta à componente horizontal e à componente vertical de uma parábola.

Mas foi a Matemática pura de Apolônio que permitiu, cerca de 1.800 anos mais tarde, a Sir Isaac Newton escrever "Principia". A lei da gravitação de Newton matematizou as descobertas empíricas de Kepler e, a partir do século dezessete, possibilitou o estudo analítico das cônicas e das suas aplicações aos movimentos no espaço, este, por sua vez, deu aos cientistas de hoje condições para que a viagem de ida e volta à Lua fosse possível.

Por fim, coube a Pierre de Fermat (1.601-1.665) a criação das equações cartesianas da reta e da circunferência, e também as mais simples equações das seções cônicas (elipse, hipérbole e parábola). Entre outras situações, ele aplicou uma transformação equivalente à rotação de eixos para assim reduzir a equação do 2o grau à sua forma mais simples.

Referências Bibliográficas:

BOYER, Carl B., História da Matemática. Edgar Bluncher Ltda, São Paulo, 1996.

EVES, Howard, Introdução à história da matemática. Campinas, Editora da Unicamp, 1995.

HEATH, Thomas L., A história dos matemáticos gregos. Dover, New York, 1981.

POLCINO, César M. & BUSSAB, José Hugo O., A geometria na antiguidade clássica. FTD, São Paulo, 1999.

Ministério da Educação - SEB, Coleção explorando o ensino. Matemática – Ensino Médio. Volume 3. Brasília, 2004

Seções cônicas e o Oráculo de Pérgamo

No estudo das seções cônicas durante o Ensino Médio, nos limitamos às definições teóricas e resolução de exercícios. Isto possibilita um bom acréscimo de conhecimento, mas também gera alguns questionamentos, tais como: por que, quando e como surgiram as seções cônicas? Como se deu o seu desenvolvimento durante os tempos e principalmente, dentro do contexto matemático? Quais as suas aplicabilidades na vida cotidiana? Suas propriedades e características podem de alguma maneira ter contribuído para a formação do atual modelo globalizado de nosso planeta?

Assim, para responder às estas questões, decidi fazer um estudo mais minucioso das seções cônicas, partindo de sua origem até suas mais modernas e surpreendentes aplicações, pois acredito ser muito interessante e fundamental que o aluno tenha contato com a história da formação e evolução dos conceitos matemáticos. Os resultados deste estudo serão apresentados nas postagens seguintes.

A seqüência de Fibonacci e o número de ouro

Quando participei do Congresso de Educadores do Triângulo Mineiro (12 -14 de julho de 2006), durante a apresentação da Oficina sobre Razão Áurea, analisei a Série de Fibonacci e, fiz menção a um fato que considero muito interessante sobre a relação entre essa seqüência e o número de ouro. Como vimos, se dividirmos um termo dessa seqüência pelo seu antecessor, encontramos um número próximo ao valor de phi (1,618). Também percebemos que quanto maior forem os valores desses números, mais próximo seu quociente ficará de phi. Vejamos então ao gráfico que representa essa situação:

Observando-o, podemos perceber claramente que quanto maior forem os termos, mais próximo sua razão estará de phi. Então pensei a seguinte situação: se quanto maior forem as medidas dos termos, mais próximo sua razão fica de phi e considerarmos então que esta é uma série infinita, logo a razão dos termos dessa seqüência está tendendo a phi. Portanto, há a possibilidade de se trabalhar conceitos de limites nessa seqüência quando a mesma tende ao infinito.

Desta maneira, inicialmente considerei adotei de maneira geral que essa seqüência seria determinada por fn e onde, seu sucessor seria fn+1 e seu antecessor seria fn–1. Como já sabemos, na seqüência de Fibonacci o número correspondente a um determinado termo é igual a soma de seus dois antecessores (a partir do terceiro termo), logo podemos determinar de maneira geral o valor de por fn = fn–1 + fn–2.

Também sabemos que na seqüência de Fibonacci, os dois primeiros termos são iguais a 1, logo podemos designá-los como sendo o termo inicial f0 = 1 e f1 = 1. desta forma, podemos montar a seqüência a seguir:


f0 + f1 + f2 + ... + fn + ...

em que,

f0 = 1, f1 = 1, f2 = f0 + f1, f3 = f2 + f1 + ...+ fn = fn–1 + fn–2 + ...

ou seja,

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Logo, podemos também dizer que uma razão Rf qualquer entre dois termos sucessivos podem ser determinados de maneira geral da seguinte forma:

quando .

Assim, podemos representar o limite dessa razão da seguinte maneira:

Assim, podemos representar o limite dessa razão da seguinte maneira:

Outro detalhe interessante, é que se a razão entre um termo dessa seqüência pelo seu antecessor tende phi, logo a razão entre um termo qualquer e sucessor nos dará o inverso do número de ouro, que poderíamos determinar de maneira geral como a seguir:

Mas um detalhe importante é que para melhor aproximação de phi, devemos considerar para a razão, preferencialmente, termos cuja posição na seqüência seja n > 4.

João Gilberto

Construindo o Retângulo de Ouro e a Espiral Logarítmica

A seguir vou descrever para vocês um processo para a construção geométrica do retângulo de ouro e outro para a construção da espiral logarítmica que abordamos em postagens.


O RETÂNGULO DE OURO

Para construirmos um retângulo que apresente entre seus lados a razão de ouro devemos proceder da seguinte maneira:

I) constrói-se um quadrado ABCD.

II) divide-se esse quadrado ao meio, obtendo os retângulos ABEF e CDEF.

III) constrói-se uma diagonal CF no retângulo CDEF.

IV) prolonga-se a base do quadrado e, com a ponta seca do compasso no ponto F e a outra ponta em C constrói-se um arco até a reta suporte da base do quadrado, criando assim o ponto G.

V) pelo ponto G levanta-se uma reta perpendicular à base, que será o lado do retângulo de ouro.


A ESPIRAL LOGARÍTMICA

Para construirmos uma espiral logarítmica podemos utilizar um retângulo dourado que, ao ser dividido por um segmento igual ao seu lado menor, nos fornece um novo retângulo dourado.

O processo é o seguinte:

I) constrói-se um retângulo dourado ABCD, como vimos na construção anterior ("O retângulo dourado")

II) neste retângulo marcamos, sobre BC um ponto F, de medida AB e traçamos uma perpendicular a BC pelo ponto F

III) o retângulo DCEF também é um retângulo dourado, que dará origem ao retângulo EDGH

IV) repete-se o processo acima tantas vezes quantas acha-se conveniente

V) com a ponta seca do compasso em E a abertura AE traça-se o arco AF e repete-se o processo para nos demais quadrados obtidos.

"Testando " as proporções de seu corpo

Também vimos anteriormente que o dentre as muitas aplicações e situações onde encontramos o Número de Ouro, uma das mais intrigantes e ao mesmo tempo interessantes aplicações é no corpo humano. Veremos então, neste artigo, alguns processos nos quais podemos “testar” a proporção áurea de nossas medidas.



Atividade 1:

I) Meçam uns aos outros, no grupo, a altura (x) de cada um dos componentes, assim como a medida do umbigo ao chão (a) registrando os resultados na tabela a seguir.

II) Dividam o valor x por a e registre o resultado.

III) Dividam o valor a por x e registre o resultado.

IV) Verifique o resultado entre os demais componentes do grupo, em seguida compare com os demais.

V) Alguma coincidência nos resultados? O que você conclui?


Atividade 2:

I) Meça uns aos outros, o comprimento da falange (a), da falanginha (b) e da falangeta (c) do indicador de uma das suas mãos e preencha a tabela a seguir:

II) Calcule as seguintes razões:

falange/falanginha (a/b), falanginha/falangeta (b/c).

III) Verifique se as razões obtidas em II, entre seus colegas, se aproximam de um mesmo número.

IV) Alguma coincidência nos resultados? O que você conclui?


Atividade 3:

Para responder as questões a seguir, tenha em mãos os resultados da atividade 1 e os conhecimentos adquiridos à respeito das proporções áureas.

1) Será que somos bonitos? Ou melhor, será que nossas proporções são harmônicas?

2) Pergunta para as mulheres: Qual a importância do salto alto?

Representação geométrica do Número de Ouro (phi)

Em algumas postagens anteriores, vimos um pouco sobre a história e conceitos relacionados à Proporção Áurea e o Número de Ouro. A partir de agora, irei descrever para vocês um processo para a representação geométrica do número de ouro.

Existem diversas representações geométricas para chegarmos ao número . Assim, a partir de agora vamos construir um segmento áureo.

Instruções:

I) Construa um segmento AB, de medida "a", traça-se, por B, uma perpendicular de medida a/2, definindo o ponto C

II) Ligando os pontos C e A tem-se um triângulo retângulo

III) Com a ponta seca do compasso em C e abertura BC marca-se um ponto D no segmento AC

IV) O segmento AD é Áureo de AB (AB = AD x 1,618)

Paródia da música Amor Perfeito envolvendo Geometria

Paródia do Neizino Carlos

Fecho os olhos pra entender como dois planos, podem no espaço ficar,
Planos secantes, coincidentes e paralelos, sem isso não sei viver,

Então vem que agora vou contar para todos vocês,
Eu não consigo esquecer
Cada minuto é muito tempo pra aprender, pra aprendeeeeer

As retas vão passando paralelas, não tem ponto em comum
Até quando chega as coincidentes, que tem todos os pontos em comum

Então, vem que agora vai chegar as retas secantes
E temos apenas um ponto em comum
Já as reversas não tem planos que as contém, que as contéeeeeemmm

Eu não vou saber me encontrar
Sem a geometria pra mostrar
Sem teoria pra entender
Sem matemática, desafios e sem vocês

Vem me tirar da escuridão
Fazer aprender meu coração
Já não importa quem errou
Pois quem passou , passou, então vem


 Amor Perfeito - Roberto Carlos

Fecho os olhos pra não ver passar o tempo, sinto falta de você

Anjo bom, amor perfeito no meu peito, sem você não sei viver

Então, vem que eu conto os dias conto as horas pra te ver
Eu não consigo te esquecer
Cada minuto é muito tempo sem você, sem vocêeeeee

Os segundos vão passando lentamente, não tem hora pra chegar
Até quando te querendo, te amando, coração que te encontrar

Então, vem que nos seus braços esse amor é uma canção
E eu não consigo te esquecer
Cada minuto é muito tempo sem você, sem vocêeeeee

Eu não vou saber me acostumar
Sem suas mãos pra me acalmar
Sem seu olhar pra me entender
Sem seu carinho, amor sem você

Vem me tirar da solidão
Fazer feliz meu coração
Já não importa quem errou
O que passou, passou, então vem

Soneto do Infante D. Luis

(Vasco Graça Moura, Camões e a Divina Proporção)

Do número nasce a proporção
Da proporção se segue a consonância
A consonância causa deleitação
A nenhum sentido apraz a dissonância


Unidade, igualdade e semelhança
São princípios do contentamento
Em todos os sentidos o experimento
A alma em a unidade glória alcança


Em todas as quantidades a igualdade
E a perfeição remota ou mais chegada


Segundo a natural autoridade
E assiesta em as qualidades assentada


Da mesma maneira a semelhança
Digna de ser sentida e contemplada

Repensar e Recriar para Avaliar

Um dos temas que considero merecer uma maior e mais relevante abordagem e análise nas novas teorias e propostas de ensino é sem dúvida a “Avaliação”. Sempre foram levantadas diversas questões, tais como: Quando avaliar? Como avaliar? Medir? Dar notas? Quantificar? Como fazer a avaliação dos processos de ensino-aprendizagem nos dias atuais? Quais as formas predominantes de avaliação? Para responder a questões como essas, decidi fazer algumas leituras sobre teorias de alguns autores, que produzem sobre tal tema, possibilitando-me assim chegar a algumas conclusões.

A avaliação ainda hoje é vista como um instrumento de exclusão. O educador ainda classifica e exclui o aluno, pois desde o início estipula um tipo de ensino, para um tipo de aprendizagem e o educando que não consegue atingir o esperado é classificado e excluído do processo. A avaliação deixa de ser um espaço de construção de conhecimento para que o professor faça a interferência pedagógica necessária, reformule, busque novas técnicas para ajudar o aluno a superar as dificuldades e passa classificá-lo de maneira punitiva e coercitiva da conduta comportamental e cognitiva do aluno.

Outro ponto que considero interessante é da importância do professor respeitar o ritmo próprio de cada educando. É verdade, pois cada aluno tem uma bagagem de conhecimento construído no decorrer de sua vida. E estas experiências interferem no seu ritmo para compreender o conteúdo em estudo com mais facilidade e ou dificuldade.

Outro aspecto importante é que não basta mudar o sistema avaliativo. Faz-se também necessário, mudar o trabalho pedagógico. O educador deve estar sempre refletindo a sua prática pedagógica e reconstruindo-a na busca de encontrar caminhos que direcionem os alunos a superar as necessidades diagnosticadas no decorrer do processo avaliativo.

Por isso, creio na necessidade de se estabelecer objetivos e critérios em planejamentos e no projeto político-pedagógico. Ter clareza de quê, quem, como e quando avaliar de acordo com o contexto e as especificidades da clientela a ser atendida.

É necessário utilizar diversos instrumentos de avaliação para que o aluno seja avaliado em sua plenitude e não apenas nos aspectos cognitivos, e o professor repense o seu fazer pedagógico e reorganize-o e contextualize-o caso seja necessário.

Neste contexto o professor é o mediador entre o ensino e a aprendizagem do aluno e a avaliação um instrumento necessário para a comunicação entre o ensinar e as formas de aprender.

O professor deve realizar uma avaliação diagnóstica, reguladora e somativa que busca acompanhar o processo de ensino. Estimular o aluno a superar as suas dificuldades e abolir de sua prática a avaliação punitiva que exclui e massifica o aluno na escola e na sociedade, oportunizando aos seus alunos, aprendizagens significativas e sua formação integral, para que ele possa integrar-se na sociedade como um cidadão digno, mais crítico e consciente.

João Gilberto

O educador como elemento pacificador

No mundo em que vivemos, mais do que nunca estamos precisando de paz. O amor é uma força poderosa que nos constrói melhores e projeta no semelhante e na natureza energias restauradas e renovadoras. O amor é a essência e ninguém pode perder sua essência. É muito importante demonstrar a nossos alunos, a necessidade de amarmos a vida, a natureza, o semelhante.

O homem é um ser de encontro. E o que é o encontro senão o entrelaçamento de duas realidades que se enriquecem mutuamente? É preciso que façamos trocas continuas de experiências com nossos alunos, demonstrando sempre a necessidade de utilizarmos em todas as situações de nossas vidas, valores como honestidade, sinceridade, compaixão entre outros.

É importante que nossas crianças aprendam a olhar para dentro de si, pois se o ser humano continuar a olhar apenas para fora, vai sempre encontrar a ilusão de ser efêmero, temporário e irreal. Todos os grandes líderes, um dia foram crianças inocentes e inofensivas, mas alguns destes em algum momento de sua infância, perderam ou deixaram de receber tais valores, tornando-se quando adultas, governantes inescrupulosos, desalmados e desumanos. Daí, vem a seguintes indagações: Qual a verdadeira importância e responsabilidade do educador na formação do aluno enquanto ser humano? Será que todos assumem essa responsabilidade ou se omitem?

É necessário que nós, educadores e futuros educadores, tenhamos a dignidade de assumir nossa responsabilidade nesse processo de construção de um mundo mais justo e humanitário, ou seja, demonstrar à nossas crianças, que somos todos eternos aprendizes da arte de viver em paz.

João Gilberto

“A pedagogia do professor-educador”

No inicio de minha carreira educacional, ainda cursando a Licenciatura de Matemática, tive muitas dificuldades na compreensão e assimilação desta (até então) nova proposta de ensino. Em diversos momentos, cheguei a considerar a possibilidade de fazer uma mudança radical em meus planos e objetivos. Pensei diversas vezes em seguir por outro caminho... Por diversas vezes, pensei em desistir do sonho de ser um professor de matemática. Mas apesar das inúmeras dificuldades iniciais que vivenciei, aos poucos, fui me adaptando ao sistema. Hoje, posso dizer de maneira bem segura, que tenho uma renovada e muito melhor concepção em relação às novas metodologias e responsabilidades de todo professor.

Um dos pontos iniciais, que produziu maior insatisfação a mim (no inicio do curso), sem dúvida alguma, diz respeito ao conteúdo de Formação Pedagógica por considerá-la naquele momento desnecessária e um tanto quanto monótona. Meu instinto matemático estava ansioso por Cálculo, seus limites, derivadas e integrais... Tanto que naquele momento, quando tivemos a possibilidade de analisar algumas teorias pedagógicas, como as ‘Morin’, princípio, não lhes dediquei á devida atenção, por considera-las desnecessárias e altamente utópicas. Mas com algum tempo, algo foi se tornando diferente, algo mudou e assim, comecei a enxergar, “ver” de maneira clara, o quão importantes seriam estas teorias na minha formação, não apenas como um simples elemento de transferência de teoria matemática, mas sim, enquanto “professor-educador”.

Há algum atrás, aconteceu algo bastante inusitado. Ao assistir o filme, “O Grande Ditador” de Charles Chaplin (década de 40), vi ao seu fim um discurso de encerramento que despertou bastante á minha atenção. Eis um fragmento: "... A máquina, que produz abundância, tem-nos deixado em penúria. Nossos conhecimentos fizeram-nos céticos; nossa inteligência, empedernidos e cruéis. Pensamos em demasia e sentimos bem pouco. Mais do que de inteligência, precisamos de afeição e doçura. Sem essas virtudes, a vida será de violência e tudo será perdido...”(discurso final do filme O Grande Ditador).

É notório que a intenção do autor, é fazer uma crítica ao momento político que assolava a população mundial ao final da década de trinta e inicio da década de quarenta (a 2º Guerra Mundial). Mas por que este trecho chamou-me a atenção e em que sentido isso ocorreu? Aí entra o porquê de ser inusitado, pois me fez recordar algo que havia visto durante o primeiro ano de curso na universidade. Em “Os Sete Saberes Necessários á Educação do Futuro”, Edgar Morin defende que a educação do futuro deve concentrar, primordialmente, o ensino na condição humana, na concepção do ser como animal e como humano num conjunto de ações e reações.

Para Morin, o bom funcionamento das sociedades, depende de uma educação que, (por ser um fenômeno sócio cultural e universal) cuide da formação de seus indivíduos em suas capacidades físicas e espirituais, preparando-os através do conhecimento e de experiências culturais e cientificas, tornando-as os aptos á vivência digna neste mundo globalizado.

Assim, (re)comecei a analisar e à comparar estes dois posicionamentos, e percebi que apesar de aparentemente se referirem a situações diferentes, em sua essência, apresentam de forma implícita, a idéia de que não basta apenas o conhecimento teórico para a formação do ser, mas também a sua preparação cultural, espiritual, cientifica e sobretudo, a sua real formação “humana”. Mas para que esta “formação humana” seja possível se faz necessário também uma nova concepção na “formação do educador”.

Isto também me fez lembrar quando ainda no primeiro ano, tive a oportunidade de analisar e debater com meus saudosos colegas e mestres, os ideais de Rubens Alves, em seu livro: “Conversas com quem gosta de ensinar”. Nele, Rubens Alves traz uma interessante analogia em relação a esta questão de professores e educadores.

"... Pode ser que educadores sejam confundidos com professores, da mesma forma como se pode dizer: jequitibá e eucalipto, não é tudo árvore, madeira? No, final, não dá tudo no mesmo?...” (Rubens Alves, 2000).

Ora, apesar de muitos consideraram estes termos sinônimos, como naquele momento eu também considerava, hoje está claro para mim e acredito que, para muitos outros também, que estes representam situações distintas, pois ser professor é simplesmente possuir uma profissão cuja única finalidade é a sua satisfação pessoal e institucional, sem se importar com o que isto acarreta no ser enquanto seu aluno. Já em relação ao educador, percebe-se uma postura diferenciada, onde em nome de uma vocação, do amor e da esperança de contribuição para a formação de seres mais justos e capacitados, estabelece-se então, uma relação consistente para com os alunos, aceitando que estes também possuem emoções diversas, possui uma bagagem própria, uma cultura individual, as quais devem ser respeitadas. Em síntese, o professor é o “eucalipto” e o educador é o “jequitibá”,

"... Há arvores que têm uma personalidade, e os antigos acreditavam mesmo que possuíam uma alma. É aquela árvore, diferente de todas, que sentiu coisas que ninguém mais sentiu. Há outras que são absolutamente idênticas umas as outras, que podem ser substituídas com rapidez e sem problemas. Eu diria que os educadores são como as velhas árvores. Possuem uma face, um nome, uma “historia” a ser contada..."

Agora percebo que durante um bom tempo me portei como um “eucalipto” era como uma árvore comum em meio de outras tantas, onde não me importava com a formação humana do ser, do aluno, subjulgando-me aos interesses do sistema. No entanto, hoje considero a condição de educador, essencial para a formação educacional do futuro, valorizando a interiorização do ser, seus sentimentos e principalmente, a expansão dos horizontes utópicos, que tanto me degradavam inicialmente.

Junto a esta nova postura educacional, também considero de extrema importância que o professor aprofunde seus conhecimentos, se possível, acima do que será ensinado, deixando-o em condições de realizar um trabalho eficiente e coerente. Ao mesmo tempo, demonstrar aos alunos interesse e entusiasmo pelo conteúdo. Deve aprofundar horizontes, conhecimento.

Uma maneira que creio ser adequada para que se coloque em prática, na busca por um melhor aprendizado e entendimento de nossos alunos do conteúdo matemático, é uma abordagem mais ampla e interdisciplinar dos temas matemáticos. Devemos mostrar aos nossos alunos, o quanto a matemática esta presente em nossa vida, o quanto ela é necessária para a sua vida e da sociedade em geral, nas mais diversas áreas da humanidade. Temos e devemos mostrar e demonstrar aos nossos alunos aplicações interessantes e relacionadas aos temas a serem abordados, ou seja, investigá-los e integrá-los a uma contextualização da matemática com as demais áreas de estudos, a cultura em geral e o mais importante: a sua própia cultura, a sua vida.

Contudo, estou ciente de que, isto não é um processo fácil de ser colocado em prática, pois são muitas as dificuldades que nós professores encontramos em nosso dia-a-dia, mas devemos sim, por mais árduos e espinhosos que sejam os caminhos da educação, buscarmos intensa e incessantemente essa “transformação”. Acredito que esta deva ser a nova concepção que nós professores, principalmente relacionados à Matemática, mãe de todas as ciências, devemos ter para com o nosso dever atual, de não apesar repassar conteúdos, mas sim, de sermos professores-educadores, formadores de seres virtuosos, capazes e humanos afim de que nada se perca...

Professor João Gilberto

09 de março de 2010

A importância da informática na educação

Avanço tecnológico está presente cada vez mais nos nossos dias. A escola não pode se omitir com relação a este fato. Como sabemos o conhecimento matemático visa possibilitar a inserção dos alunos como cidadãos, no mundo do trabalho, das relações sociais e da cultura.

No dia-a-dia, a Matemática está presente na vida das pessoas, em situações que é preciso quantificar, calcular, ler gráficos e mapas (escalas), tabelas, localizar-se no espaço, fazer previsões. Por este motivo, faz-se necessário superar a aprendizagem centrada nos procedimentos mecânicos e aproveitar os recursos das Tecnologias da Comunicação.

É importante ressaltar a importância de se dominar as linguagens e os códigos. É relevante também considerar as relações com as práticas sociais e produtivas e a inserção do aluno como cidadão em um mundo letrado, simbólico e informatizado.

No mundo contemporâneo, dominar o máximo possível as vantagens que a informática nos proporciona, é mais do que uma necessidade para uma participação ativa na vida social, para a cidadania desejada.

Por este motivo é que defendo a importância de utilizar-se da informática nas aulas de Matemática.

O computador nos proporciona meios de criar e solucionar desafios presentes no nosso cotidiano. Em softwares matemáticos, como “Wimplot”, “Cabri-Geometré”, “GeoGebra” entre outros, podemos propiciar aos alunos a possibilidade de visualizarem na tela do computador , desde um simples plano cartesiano até mesmo aos complicados tipos gráficos de funções, adequadas a situações cotidianas, demonstrando a eles de maneira mais atrativa e prazerosa o quanto a Matemática é importante em nossas vidas.

Outra poderosa ferramenta que a informática nos proporciona é o PowerPoint. Um aplicativo que nos permite fazer apresentações dinamizadas e criativas. Um exemplo da aplicação do PowerPoint em sala de aula é a utilização de Data-show. Através deste mecanismo o professor pode passar a seus alunos além da teoria, aplicações práticas de situações problema-geradoras através de animações gráficas.

Em síntese, propor um ensino de Matemática que permita ao aluno compreender a realidade e desenvolver capacidades cognitivas para enfrentar desafios e ampliar os recursos necessários para ser um cidadão autônomo, criativo, capaz de vivenciar diferentes situações sociais, utilizando o pensamento lógico, a criatividade, a capacidade de análise crítica, encontrando procedimentos adequados para solucionar os desafios.

João Gilberto Silva

O quociente e a incógnita

Um Quociente apaixonou-se
Um dia
Doidamente
Por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
E viu-a, do Ápice à Base...
Uma Figura Ímpar;


Olhos rombóides, boca trapezóide,
Corpo ortogonal, seios esferóides.
Fez da sua
Uma vida
Paralela à dela
Até que se encontraram
No Infinito.


"Quem és tu?" indagou ele
Com ânsia radical.
"Sou a soma do quadrado dos catetos.
Mas pode chamar-me "Hipotenusa."
E de falarem descobriram que eram
O que, em aritmética, corresponde
A alma irmãs
Primos-entre-si.


E assim se amaram
Ao quadrado da velocidade da luz.
Numa sexta potenciação
Traçando
Ao sabor do momento
E da paixão
Rectas, curvas, círculos e linhas sinusoidais.
Escandalizaram os ortodoxos
das fórmulas euclidianas
E os exegetas do Universo Finito.


Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.
E, enfim, resolveram casar-se.
Constituir um lar.
Mais que um lar.
Uma Perpendicular.


Convidaram para padrinhos
O Poliedro e a Bissectriz.
E fizeram planos, equações e
diagramas para o futuro
Sonhando com uma felicidade
Integral
E diferencial.

E casaram-se e tiveram
uma secante e três cones
Muito engraçadinhos.
E foram felizes
Até àquele dia
Em que tudo, afinal,
se torna monotonia.


Foi então que surgiu
O Máximo Divisor Comum...
Frequentador de Círculos Concêntricos.
Viciosos.
Ofereceu-lhe, a ela,
Uma Grandeza Absoluta,
E reduziu-a a um Denominador Comum.
Ele, Quociente, percebeu
Que com ela não formava mais Um Todo.
Uma Unidade.
Era o Triângulo,
chamado amoroso.
E desse problema ela era a fracção
Mais ordinária.


Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade.
E tudo que era espúrio passou a ser
Moralidade
Como aliás, em qualquer
Sociedade

                                                                       Millôr Fernandes

A ótica da visão humana

Ilusões de ótica

Olhe bem a figura a seguir e leia a frase escrita.

A frase lida por você é NÃO PARE NA PISTA??? Se a resposta for sim, acho melhor dar mais uma olhadinha. E agora, percebeu alguma diferença nessa frase?

Muitas pessoas precisam olhar várias vezes para perceber onde está o erro. Mas se você precisou olhar várias vezes, fique calmo. Isto é um fenômeno relacionado a uma prática bastante comum de vermos padrões de maneira global, sem nos atermos aos detalhes.

Em psicologia isto é chamado de Gestalt, ou seja, é uma teoria que considera os fenômenos psicológicos como um conjunto autônomo, indivisível e articulado na sua configuração, organização e lei interna.

Analisemos então, outras situações interessantes.

Observe a imagem a seguir.

Nesta imagem, as linhas horizontais são ou não são paralelas?

Por mais ilógico que pareça, todas as linhas horizontais desta figura são paralelas, mesmo quando há um deslocamento do padrão. Uma explicação bastante para essa ilusão se refere ao fato de que existem células no cortex visual que se encarregam de interpretar a linearidade de linhas contínuas. Quando alguma coisa nos chama a atenção, nossos olhos, o foco faz um processo de entrada e saída dessas linhas. Assim, no exemplo visto nesta imagem, quem desvia a atenção de nossos olhos é o movimento dos padrões. Logo, temos uma sensação descontinuidade e vemos as linhas oscilarem.

Observe as situações a seguir.

Nas figuras a seguir, qual dos segmentos verticais tem o maior tamanho?

Essa é fácil hein... mas vamos lá, analise com calma e atenção.

A resposta é nenhum deles... ambos possuem o mesmo tamanho.

Agora, em relação a imagem abaixo, temos que as figuras internas são as mesmas. Assim, como se explica o quadrado branco que aparece no segundo polígono?

O fato é que os triângulos verde e vermelho, possuem ângulos internos agudos com medidas diferentes, logo o seguimento formado por suas hipotenusas não estão alinhados. Logo, as figuras formadas não são triângulos (a primeira, por mais estranho que possa parecer é um quadrilátero) e muito menos polígonos semelhantes.

Na figura a seguir, o que você vê: uma espiral ou círculos concêntricos?

A imagem anterior, por incrível que pareça, apresentam curvas que são círculos concêntricos. Uma maneira simples para perceber a veracidade desta informação, seria acompanhar qualquer uma delas com a ponta de um lápis.

Uma teoria que poderia explicar este fenômeno, nos diz que este tipo “confusão” que temos ao olharmos a imagem, depende dos movimentos involuntários dos músculos ciliares, associados à confusão intencionalmente criada pelo fundo da imagem.

Vejamos outros exemplos

A figura central é um circulo perfeito ou não??

Pense bem... não quer pensar mais um pouco???

Pois bem, acredite ou não a figura central é um circulo perfeito.


E nas três próximas imagens, em que sentido estão girando???

Pois bem, não estão girando em nenhum sentido. Não há figura alguma que esteja girando dentre elas.

Poema Matemático

"Pra que dividir sem racionar
Na vida é sempre bom multiplicar
E por A mais B
Eu quero demonstrar
Que gosto imensamente de você
Por uma fração infinitesimal
Você criou um caso de cálculo integral
E para resolver este problema
Eu tenho um teorema banal
Quando dois meios se encontram desaparece a fração
E se achamos a unidade
Está resolvida a questão
Para finalizar vamos recordar
Que menos por menos dá mais, amor
Se vão as paralelas
Ao infinito se encontrar
Por que demoram tanto dois corações se integrar
Se desesperadamente, incomensuravelmente
Eu estou perdidamente apaixonado por você"

Antônio Carlos Jobim

Pentagrama

As aplicações da relação de ouro na Matemática são inumeráveis. Podemos citar, além daquelas já vistas, o pentagrama.



No primeiro pentagrama observamos que o triângulo possui seus lados em relação dourada com a base, enquanto o segundo triângulo possui sua base em relação dourada com os lados.

O pentagrama é uma das construções geométricas que mais fascinou os estudiosos em todos os tempos. Há uma inumerável quantidade de relações douradas dentro do pentagrama.


Leonardo da Vinci também utilizou-o para realizar algumas de suas mais famosas obras.


O Homem Vitruviano



Salvador Dali também fez uso da proporção áurea na tela Leda Atômica



Além de todos os exemplos que vimos a respeito das aplicações do número de ouro, temos ainda uma série de outras situações, sejam elas naturais ou criadas pelo homem, em que, a Divina Proporção se faz presente. As relações áureas também estão por toda a parte. Quando analisamos a configuração de animais e plantas, veremos muitos exemplos da existência de "phi".
Basta procuramos atentamente e a encontraremos em toda parte. A Razão Áurea foi muito importante no desenvolvimento da humanidade, seja nas construções, nas observações da Natureza ou na procura pela perfeição e/ou pelo belo. O Número de Ouro (phi) está sempre presente.
Agora, cabe àqueles que tenham se interessado por este assunto,definirem seus conceitos sobre harmonia, perfeição e beleza. E, por quê também não, buscar outros exemplos, outras aplicações. Este é um amplo, intrigante e revelador tema da matemática. E deixo uma diga para quem gosta de cinema: veja o filme O Código da Vinci. Não desconsiderando-se o fato de ser uma obra de ficção, em muitos momentos aborda-se este rico e magnífico tema.

Espero que tenham gostado. Abraços



Trabalho apresentado no XII Congresso de Educadores do Triângulo Mineiro

Autor:
SILVA, João Gilberto. O número de ouro e suas aplicações


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática, tradução:
Elza Gomide. São Paulo. Edgard Blucher, 1974.

OSSERMAN, R. A Magia dos Números no Universo.
Editora Mercúrio Ltda. São Paulo. 1997

BIEMBENGUT, Maria Salett. Número de Ouro e Secção Áurea.
Editora da FURB, Blumenal, 1996.

HUNTLEY, H.E., A divina proporção : um ensaio sobre a beleza na matemática.
Editora: Universidade de Brasilia,1985

Polígonos de Ouro

A “lei da divina proporção” está presente em diversas figuras planas, sólidos geométricos e na natureza.

Dentre os polígonos de ouro estão o triângulo, o retângulo.


RETÂNGULO DE OURO


Os retângulos áureos estão nas obras gregas, nas obras de Leonardo da Vinci, Albrescht Dürer, Salvador Dali, dentre outros e também, em muitas obras da arquitetura clássica em que temos como exemplo claro o Pathernon.


Da Vinci

Leonardo da Vinci usou Phi para pintar a Mona Lisa, uma de suas mais notáveis obras. Em vários pontos da obra, tais como nas relações entre seu tronco e cabeça, ou entre os elementos do rosto aparece a razão áurea.

Outra obra de Da Vinci em que se vê com bastante clareza o uso da Razão Áurea é o Homem Vitruviano como nota-se na imagem a seguir.


Pathernon

Retângulo áureo no Parthenon
Na imagem abaixo, o frontispício dessa obra, hoje em ruínas, está sobreposta por formas retangulares.

Se dividirmos as medidas dos lados maiores pelas medidas dos lados menores desses retângulos, obteremos números próximos da razão a "phi" = 1,618034...
Chamamos de retângulo áureo aquele em que se aplica a seguinte propriedade: de um retângulo ABCD, suprimimos um quadrado ABEF, restando assim, um novo retângulo CDEF, sendo que, se este for semelhante ao original, então ABCD é áureo.

Assim, podemos traduzir a definição acima da seguinte maneira:
a/a+b = b/a (1)
Da relação (1) decorre, a seguinte propriedade das proporções, onde:

Isto significa que se o retângulo de lados a + b e a é áureo, logo o retângulo de lados a e b também será áureo e assim, sucessivamente.


Outras Aplicações

Ainda hoje há artistas usando a “divina proporção” em seus trabalhos, e cientistas, como Roger Penrose, estão descobrindo muitas aplicações da razão áurea na matemática e na natureza.
Sabe-se hoje que existe uma ligação entre a razão áurea  e a série de Fibonacci. A seqüência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., correspondente aos lados dos quadrados que montam essa espiral, é a mesma que Leonardo Pisano (Fibonacci 1180-1250), em seu livro Liber Abbaci, de 1202, calculou para o crescimento das populações de coelhos a partir de um casal.
Dividindo, a partir do terceiro termo dessa seqüência, o número deste termo pelo número do termo anterior, teremos a seqüência de frações 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13... que se aproximará cada vez mais da razão áurea fhi = 1,618034...
Observe a figura abaixo:


Assim, podemos perceber que razão entre os termos consecutivos da seqüência de Fibonacci tendem a phi.

A razão áurea e a seqüência de Fibonacci

Agrupados na forma vista na figura anterior, temos uma seqüência de quadrados com lados de medidas iguais aos números da seqüência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...) e assim, se formará uma espiral muito encontrada em formas da natureza, a chamada Espiral de conchas e flores.

Esta espiral pode ser vista facilmente no molusco náutilo (Nautilus pompilius) e na distribuição de pétalas de diversas flores.

Observe na figura a seguir como realmente pode-se encontrar uma seqüência de retângulo de ouro formando a espiral de fibonacci.



TRIÂNGULO DE OURO

Um triângulo é um triângulo áureo quando ele é semelhante ao triângulo retângulo com hipotenusa medindo 1,618... (phi) e catetos com medidas 1 e 1,272... (raiz quadrada de phi). Assim, um triângulo retângulo com hipotenusa a e catetos b e c (b > c) é áureo se, e somente se,



Acredita-se que, no Egito, as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a razão áurea. A razão entre a altura de um face e metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro. O Papiro de Rhind (Egípcio) refere-se a uma “razão sagrada” que se crê ser o número de ouro. Esta razão ou secção áurea surge em muitas estátuas da antiguidade. A razão aparece, também, na proporção entre altura e lados e nas câmaras internas.


Logo, para verificarmos se uma pirâmide é ou não áurea, devemos analisar a seguinte definição:

Pirâmide reta de altura h com base quadrada de lado a e a altura de suas faces seja H. Desta maneira, quando o triângulo de lados H, h e a/2 for um triângulo áureo, a pirâmide também será áurea.

De acordo com a definição, tem-se:


Demonstração:

Uma pirâmide áurea, isto é, em que o triângulo retângulo com hipotenusa e catetos h e a/2, (supondo h > a/2) é áureo.

Temos então:



E portanto,



Analogamente, das relações, temos:



obtemos



que implica



que resulta



Logo,



e, portanto, o triângulo de lados H, h e a/2.

É possível avaliar a beleza física de uma pessoa por meio de uma fórmula matemática?

A beleza é subjetiva! O que é belo para uma pessoa pode não ser para outra. Porém, é possível mostrar a harmonia de suas proporções, realizando comparações. No processo de comparação é necessário um critério especial, denominado medida.

Qual é essa medida? É uma razão?

Vamos tomar um segmento AB, tal que a med (AB) = x unidade. É como se este segmento fosse, por exemplo, a medida da altura de uma pessoa.

Com um ponto C podemos dividir este segmento em duas partes.
De quantas maneiras podemos dividir este segmento?

Observamos que o ponto C pode ocupar infinitas posições, mas existe uma única posição - posição de ouro – onde este ponto C divide o segmento AB em dois segmentos proporcionais, tal que, o quociente entre as medidas do segmento todo pela parte maior é igual ao quociente entre as medidas da parte maior com a parte menor:

No exemplo dado, a posição ouro do ponto C é obtida da seguinte forma:

Sendo a medida (AB) = x, a med(AC) = a e med(CB) = (x- a), então:

A propriedade fundamental da proporção nos garante que: x.(x – a) = a2 , aplicando a propriedade distributiva, temos a equação do 2º grau:

Resolvendo a equação, temos:

Portanto o número é um número irracional, denominado número de ouro. Ou seja,

e a razão inversa do número de ouro


Como a é a medida do segmento maior AC, temos que a = x.(0,6180399...) é denominada secção áurea do segmento AB.

O número de ouro é considerado especial por ter propriedades interessantes, como:

P1: Somando 1 ao número de ouro obtém-se o seu quadrado:

( 1 + 1,6180399....) = ( 1,618...) 2 = 2,6180399....
P2: Subtraindo 1 de phi, obtém-se o seu inverno:



Agora que já conhecemos qual é essa razão, vamos responder a pergunta inicial.

Façamos um teste tomando as respectivas medidas: altura (ou medida do corpo) e medida da linha umbilical até o chão e, em seguida, fazendo as seguintes divisões: altura (x) pela medida do umbigo ao chão (a) e vice-versa.

Encontrou alguma coincidência de resultados?



Será que somos bonitos? Ou melhor, será que nossas proporções são harmônicas?

Qual a importância do salto alto? Todas as mulheres deveriam usar salto alto?

De acordo com as definições e propriedades vistas, que tal verificarmos a harmonia das proporções do nosso corpo?

Será que pessoas consideradas exemplo de beleza, como a top model Gisele Bündchen possuem proporções harmônicas?

Tente! Vai ser muito interessante.

Selecione algumas das fotografias de pessoas consideradas como referencial de beleza. Agora, de acordo com as propriedades das proporções áureas , verifique se essas pessoas podem ser consideradas “belas”, ou seja, se as suas medidas são harmônicas.

A partir desta discussão, você concorda ou não que a beleza está intrinsecamente relacionada à matemática, ou seja, ao número de ouro? Dê sua opinião.